Теория вероятности

Условная вероятность и формула Байеса

Одна из самых частых тем в задачах на данные. Даны проценты «среди случаев» и «среди всех», и нужно понять, какое событие на самом деле вероятнее.

Что такое условная вероятность

P(A | B) — вероятность события A, если известно, что B произошло. Мы перестаём смотреть на всех и смотрим только на тех, у кого случилось B.

P(A | B) = P(A и B) / P(B)

Главное, что нужно запомнить: P(A | B) и P(B | A) — разные числа. «90% баскетболистов высокие» не значит, что «90% высоких — баскетболисты». Почти все задачи по этой теме проверяют, что вы их не путаете.

Формула полной вероятности

Если вся совокупность делится на непересекающиеся группы H₁, H₂, …, то

P(A) = P(A | H₁)·P(H₁) + P(A | H₂)·P(H₂) + …

Пример

60% деталей делает завод X, у него 2% брака. Остальные 40% делает завод Y, у него 5% брака. Доля брака среди всех деталей: 0,6·0,02 + 0,4·0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032, то есть 3,2%.

Формула Байеса

Позволяет «перевернуть» условную вероятность: зная P(B | A), найти P(A | B).

P(A | B) = P(B | A) · P(A) / P(B)

Пример: деталь бракованная. С какого она завода?

Продолжаем пример выше. P(X | брак) = 0,012 / 0,032 = 0,375. Хотя завод X делает большинство деталей, бракованная деталь скорее пришла с Y (вероятность 62,5%).

Пример: медицинский тест

Болезнь есть у 1% людей. Тест находит 90% больных, но у 5% здоровых тоже даёт положительный результат. Человек получил положительный тест. Какова вероятность, что он болен?

P(+) = 0,01·0,9 + 0,99·0,05 = 0,009 + 0,0495 = 0,0585. P(болен | +) = 0,009 / 0,0585 ≈ 15%.

Интуиция подсказывает «90%», но больных так мало, что ложные срабатывания на здоровых их перевешивают.

Базовая частота: главный тип задач

Типичное условие: «X% случаев (краж, поломок, срабатываний) приходится на группу G, а G составляет Y% всех объектов». Вопрос: в группе G событие случается чаще или реже?

Нужно сравнить долю группы среди случаев с долей группы среди всех:

  • X > Y — в группе G событие случается чаще;
  • X < Y — реже;
  • X = Y — одинаково.

Во сколько раз чаще, считается так:

риск в G X / Y ──────────── = ───────────────── риск вне G (1 − X) / (1 − Y)

Пример

40% поломок станков приходится на ночные смены, а ночных смен 20%. Тогда риск ночью: 0,4 / 0,2 = 2; днём: 0,6 / 0,8 = 0,75. Ночью поломки случаются в 2 / 0,75 ≈ 2,7 раза чаще.

Ловушка

Фраза «80% случаев — в группе G» ещё не значит, что в G опасно. Если G — это 95% всех объектов, то в G событие случается даже реже, чем вне её. Без доли G среди всех объектов вывод сделать нельзя, и тогда правильный ответ — «данных недостаточно».

Независимость

События A и B независимы, если P(A | B) = P(A), то есть знание о B ничего не говорит про A. Тогда

P(A и B) = P(A) · P(B)

Независимость нельзя предполагать по умолчанию. В задачах её либо прямо оговаривают («устройства ломаются независимо»), либо она следует из устройства эксперимента: разные броски кубика, разные люди, выбранные случайно.

Как это выглядит в задачах

  • «Среди опоздавших на работу половина ездит на метро, а на метро ездят 80% сотрудников. Какой вывод верен?» Половина меньше 80%, значит те, кто ездит на метро, опаздывают реже.
  • «Доля пристёгнутых среди пострадавших в ДТП равна X». Чтобы судить, помогает ли ремень, X нужно сравнить с долей пристёгнутых среди всех водителей.
  • Поломки, опоздания, жалобы, болезни — это один и тот же сюжет в разных обёртках.

Ещё примеры

30% ДТП происходит с водителями младше 25 лет, а таких водителей 15%. Кто попадает в ДТП чаще и во сколько раз?

Молодые водители: 0,30 / 0,15 = 2. Остальные: 0,70 / 0,85 ≈ 0,82. Молодые попадают в ДТП примерно в 2 / 0,82 ≈ 2,4 раза чаще.

90% пострадавших в ДТП были пристёгнуты. Значит ли это, что ремень не помогает?

Нет, этого не следует. Если пристёгнуты 95% водителей, то среди пострадавших пристёгнутых меньше, чем в среднем (90% против 95%), и ремень снижает риск. Без доли пристёгнутых среди всех водителей вывод сделать нельзя.

Тест на редкую болезнь (0,1% людей) никогда не пропускает больных и ошибается у 1% здоровых. Какова вероятность болезни при положительном тесте?

P(+) = 0,001·1 + 0,999·0,01 ≈ 0,011. P(болен | +) = 0,001 / 0,011 ≈ 9%.