Теория вероятности
Формулы:

Туториал: как решать задачи с нуля

Для каждого типа задач: как его узнать, что делать по шагам, разобранный пример и типичная ошибка. Найдите свой тип в таблице быстрого поиска.

Быстрый поиск: что в условии → какой тип

Что написано в условииТип задачи
«X% случаев приходится на группу…», «группа составляет Y% всех»1. Чаще или реже
«Случилось X (опоздал, нажал, тест положительный) — из какой он группы скорее всего?»27. Обратная вероятность
«Выберите все верные», «что следует из информации»2. Что следует
Кого опросили, где и когда считали; «завышена / занижена»3. Смещение оценки
«Сколькими способами раздать / выбрать», C(n, k), «!»4. Число способов
«Сколько кодов / паролей», условие на цифры19. Перебор
Вероятности событий, «не хватит», «хотя бы один»5. Вероятность
«Распределено нормально», среднее и σ, «какая доля выше / ниже / между»6. Нормальное распределение
Среднее, медиана, квартиль, «как изменится»; коэффициент вариации; таблица «ответ — сколько человек»7. Статистики
Сопоставить r и облака точек, гистограмму и «ящик»8. Графики
Сопоставить график и заголовок; возрастная пирамида24. Тип графика
Выбрать формулу (1/x, √x, x²) под облако точек26. Вид формулы
Уравнение y = …, «на сколько изменится», разница групп9. Регрессия
В уравнении есть x² или y — это время, затраты23. Квадрат и «меньше — лучше»
Две похожие группы до и после, «оцените эффект»10. Эффект нововведения
TP, FP, FN, TN; precision, recall, accuracy11. Выбор модели
Тренд, сезонность; событие ↔ точка на графике цены12. Временные ряды
Скидка, наценка, прибыль13. Скидки
Ставка, инфляция, процентные пункты, темп роста / прироста, доля в общем объёме14. Проценты
Дан файл Excel или CSV15. Таблица
Текст с пропусками «(отвергается / не отвергается)»16. Пропуски в рассуждении
«Какие показатели подойдут для исследования»17. Показатели
Доли в группах и «одних в 3 раза больше» → общая доля; «x% группы A — это B», «ни A, ни B»18. Общая доля
«За сколько часов», работу делят между людьми20. Совместная работа
MSE / RMSE, «с вероятностью 95% хватит»21. Запас по прогнозу
ВВП, инфляция, ставка, кредиты, вклады, «на душу», график из отчёта банка; не знаете слово28. Экономика с нуля
Своё, придуманное среднее или индекс («усредняем первые два, потом со следующим…»)29. Придуманный показатель
Налоги и субсидии, «чтобы среднее стало равно медиане», «как можно меньше»30. Среднее = медиана
«Какое максимальное (наименьшее) число…», «не более скольких»31. Наибольшее количество
Одно значение неизвестно, даны медиана и среднее32. Неизвестное значение
«Сколько ещё оценок нужно, чтобы рейтинг вырос до…»33. Сколько ещё нужно
«Равновероятно от a до b», купоны и ваучеры с вероятностью, цена в часы пик6. Равномерное, 5. Средние расходы, 13. Разбор 2
«Статистически значимо», z, доверительный интервал22. Значимость
Стандартизация, «наиболее похожий», две нормировки (min-max и z)25. Самый похожий объект

Не нашли? Нажмите Ctrl+F и поищите ключевое слово из условия, или загляните в раздел «Если задача незнакомая».

0. Три приёма, которые нужны везде

Проценты — это доли

30% = 0,3. «30% от 200» = 0,3 · 200 = 60. «Какой процент 15 от 60» = 15 / 60 = 0,25 = 25%.

Приём «возьмите 1000 человек»

Если в задаче одни проценты и непонятно, с чего начать, представьте конкретное число объектов: 100, 1000 или 10 000. Посчитайте, сколько человек попадает в каждую группу. С людьми думать гораздо проще, чем с процентами, и большинство задач на вероятность решается именно так.

Таблица «группа × событие»

Нарисуйте таблицу: строки — группы (например, «карбоновая рама» и «обычная рама»), столбцы — событие (например, «сломался» и «не сломался»). Заполните её числами из приёма выше. Ответ почти всегда читается прямо из таблицы.

1. «В этой группе это случается чаще или реже?»

Как узнать задачу: «X% случаев (поломок, жалоб, болезней) приходится на группу G, а группа G составляет Y% всех». Спрашивают, опаснее ли в группе G.

Идея. Сравнить нужно долю G среди случаев с долей G среди всех. Если среди сломавшихся велосипедов карбоновые встречаются чаще, чем среди всех велосипедов, значит, карбоновые ломаются чаще.

Разбор

35% всех поломок в прокате приходится на велосипеды с карбоновой рамой. Таких велосипедов в прокате 20%. Они ломаются чаще или реже?

  1. Возьмём 1000 велосипедов и 100 поломок. Числа любые, лишь бы было удобно считать.
  2. Карбоновые: 20% от 1000 = 200 велосипедов, у них 35% от 100 = 35 поломок.
  3. Остальные: 800 велосипедов, у них 65 поломок.
  4. Риск у карбоновых: 35 / 200 = 17,5%. У остальных: 65 / 800 ≈ 8,1%.
  5. 17,5% больше 8,1%, значит, карбоновые ломаются чаще, примерно в 2,2 раза.

Быстрый способ: 35% (доля среди поломок) больше 20% (доля среди всех велосипедов), значит чаще. Если бы было меньше — реже, если равно — одинаково.

Частая ошибка

Думать «35% — это меньше половины, значит, реже». Сравнивать нужно не с 50%, а с долей группы среди всех. Если доля группы среди всех не дана, правильный ответ — «данных недостаточно».

Если наоборот: даны вероятности события в каждой группе, а спрашивают «событие случилось — из какой он группы», смотрите тип 27.

Ещё пример: 30% ДТП происходит с водителями младше 25 лет, а таких водителей 15%. Кто попадает в ДТП чаще и примерно во сколько раз?

1000 водителей, 100 ДТП. Молодых 150, у них 30 ДТП: риск 20%. Остальных 850, у них 70 ДТП: риск ≈ 8,2%. Молодые попадают в ДТП чаще, примерно в 2,4 раза.

2. «Какие утверждения следуют из информации?»

Как узнать задачу: короткое условие с цифрами и список утверждений «выберите все верные».

Идея. «Следует» значит «верно всегда, при любых данных, подходящих под условие». Поэтому утверждение проверяют так: пытаются его сломать. Придумайте маленький пример, который подходит под условие, но в котором утверждение ложно. Получилось — утверждение не следует.

Разбор

В классе мальчиков больше, чем девочек. Пятёрку получили 10% учеников. Что из этого следует? а) пятёрку получили не более 10% мальчиков; б) хотя бы один мальчик получил пятёрку; в) среди получивших пятёрку мальчиков больше; г) ничего из перечисленного.

  1. Придумываем удобный класс: 6 мальчиков и 4 девочки (мальчиков больше). 10% от 10 = 1 пятёрка.
  2. а) Отдадим пятёрку мальчику: это 1 из 6 ≈ 17% мальчиков, больше 10%. Сломали → не следует.
  3. б) Отдадим пятёрку девочке: ни один мальчик пятёрку не получил. Сломали → не следует.
  4. в) Тот же пример: среди получивших пятёрку одна девочка и ноль мальчиков. Сломали → не следует.
  5. Ответ: г.

Что следует всегда

  • Общее среднее двух групп лежит между средними этих групп.
  • Общая доля (брака, отличников) лежит между долями в группах.
  • Если A > B и B > C, то A > C.

Частая ошибка

Выбирать утверждение, потому что оно «звучит логично» или «обычно так и бывает». Утверждение должно следовать из условия, а не из жизненного опыта. Если условие про товары, а утверждение про покупателей, почти наверняка его можно сломать.

Ещё пример: в 10А 20 учеников со средним баллом 70, в 10Б 30 учеников со средним 80. Каков средний балл двух классов вместе? Может ли он быть 82?

Сумма баллов: 20·70 + 30·80 = 1400 + 2400 = 3800. Учеников 50. Среднее 3800 / 50 = 76. Больше 80 оно быть не может никогда: общее среднее лежит между 70 и 80.

3. «Оценка будет завышена или занижена?»

Как узнать задачу: описано, кого опросили или где и когда собрали данные. Спрашивают, правильный ли получится результат.

Идея. Если опросили не случайных людей, а особенных, результат сдвинется в их сторону. Задайте себе три вопроса:

  1. Что измеряем?
  2. Кого опросили и чем эти люди отличаются от всех именно в этом?
  3. В какую сторону они отличаются? Туда и сдвинется оценка.

Разбор

Чтобы узнать, сколько часов в неделю школьники занимаются спортом, опросили посетителей фитнес-клуба. Оценка будет завышена, занижена или точна?

  1. Измеряем часы спорта.
  2. Опросили посетителей фитнес-клуба. По спорту они явно отличаются от среднего школьника.
  3. Они занимаются больше среднего. Ответ: оценка завышена.

Ещё примеры

  • Посетителей парка посчитали в воскресенье и умножили на 7 — завышено: в выходные людей больше.
  • Число простуд в городе посчитали по обращениям в поликлиники — занижено: многие лечатся дома и к врачу не идут.
  • Две разные выборки, и обе смещены непонятно насколько — ответ «определить нельзя».

«Оценка сверху или снизу?» — по счёту случаев

  • В подсчёт попадают лишние случаи (похожие, но не те) — оценка сверху (завышена).
  • Часть нужных случаев не попадает (лёгкие, без симптомов, не пришли) — оценка снизу (занижена).
  • И лишние есть, и пропущенные есть — «нельзя ответить»: неизвестно, что перевешивает.
  • Ни лишних, ни пропущенных — точная оценка.

Пример: число людей с новой сыпью считают по всем обращениям к дерматологу с сыпью. Лишние — обращения с обычной аллергией. Если при этом все больные обращаются — оценка сверху. Если часть больных не обращается — нельзя ответить.

Частая ошибка

Думать, что большая выборка спасает. Миллион ответов посетителей фитнес-клуба всё равно дадут завышенную оценку.

Ещё пример: чтобы узнать, сколько часов в день подростки играют в видеоигры, опросили зрителей стрима по киберспорту. Как сместится оценка?

Зрители киберспортивного стрима играют больше среднего подростка. Оценка завышена.

4. «Сколько существует способов?»

Как узнать задачу: «сколькими способами можно раздать, выбрать, составить…».

Что нужно знать

  • Правило умножения. Если сначала выбираете одно из 3, а потом одно из 4, всего вариантов 3 · 4 = 12. Пример: 3 рубашки и 4 пары брюк дают 12 комплектов.
  • Разные предметы — людям. Каждый предмет независимо уходит одному из k людей. Для n предметов вариантов k · k · … · k = kⁿ.
  • Одинаковые предметы — людям: «шарики и перегородки». Чтобы разложить 5 одинаковых билетов трём людям, выложите 5 шариков и 2 перегородки в ряд: ●●|●|●● значит «2, 1, 2». Каждая такая строчка — один способ. Всего мест 5 + 2 = 7, и нужно выбрать, где стоят 2 перегородки.
  • Сколькими способами выбрать k штук из n, порядок не важен (команда, набор, места для перегородок) — число сочетаний C(n, k). Как считать руками:
    • C(n, 2) = n · (n − 1) / 2. Например, C(7, 2) = 7 · 6 / 2 = 21.
    • C(n, 3) = n · (n − 1) · (n − 2) / 6. Например, C(10, 3) = 10 · 9 · 8 / 6 = 120.
    • Общее правило: перемножьте k чисел подряд вниз от n и разделите на 1 · 2 · … · k.
    • В Excel: =COMBIN(7, 2)=ЧИСЛКОМБ(7; 2) → 21.
    Значок «!» (факториал) — это произведение всех чисел от 1 до n: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. В формуле C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!) он встречается, но считать удобнее способом выше.
  • Выбрать k из n, порядок важен (1-е, 2-е, 3-е место; разные должности): n · (n − 1) · … — k множителей. 10 бегунов на пьедестал: 10 · 9 · 8 = 720. В Excel: =PERMUT(10, 3)=ПЕРЕСТ(10; 3).

Разбор

5 одинаковых билетов в кино раздают трём друзьям. Кто-то может ничего не получить, но все 5 билетов одному отдавать нельзя. Сколько способов?

  1. Билеты одинаковые, поэтому подходят шарики и перегородки: 5 шариков, 2 перегородки, 7 мест.
  2. Без запрета: C(7, 2) = 21 способ.
  3. Запрещённые способы — «все 5 одному»: это 3 способа (первому, второму или третьему).
  4. Ответ: 21 − 3 = 18.

А если кроме 5 обычных билетов есть ещё один VIP-билет? Его можно отдать любому из трёх, поэтому всё умножается на 3: 21 · 3 = 63 способа без запрета. Запрещённых «все 5 обычных одному» теперь 3 · 3 = 9 (кому все обычные × кому VIP). Ответ 63 − 9 = 54.

Частая ошибка

Не прочитать, одинаковые предметы или разные. Одинаковые: шарики и перегородки. Разные: kⁿ. Если условие запутанное, выпишите все варианты руками для маленьких чисел, это тоже решение.

Ещё пример: сколькими способами раздать 4 одинаковые конфеты трём детям? А если каждому нужна хотя бы одна?

4 шарика и 2 перегородки, 6 мест: C(6, 2) = 15. Если каждому хотя бы одна: сначала даём каждому по конфете, остаётся 1 конфета на 3 детей, 3 способа (C(3, 2) = 3).

5. «Какова вероятность, что…?»

Как узнать задачу: даны вероятности нескольких событий, спрашивают вероятность их комбинации.

Что нужно знать

  • «И» для независимых событий — умножаем. Если A придёт с вероятностью 0,9, B — с вероятностью 0,6 и они не зависят друг от друга, то оба придут с вероятностью 0,9 · 0,6 = 0,54.
  • «Не произойдёт» = 1 − «произойдёт». A не придёт с вероятностью 1 − 0,9 = 0,1.
  • Разные несовместные варианты — складываем.
  • «Хотя бы один» = 1 − «ни одного».

Разбор

В ресторане осталось 2 свободных столика. Ещё не пришли три компании с бронью: A придёт с вероятностью 0,9, B — 0,6, C — 0,5, независимо друг от друга. Какова вероятность, что кому-то не хватит столика?

  1. Когда не хватит столиков? Когда придут больше двух компаний, то есть все три.
  2. P(все трое) = 0,9 · 0,6 · 0,5 = 0,27 = 27%.

А если столик остался один? Тогда не хватит, если придут две или три компании. Перебираем все такие варианты:

Кто пришёлВероятность
A, B, C0,9 · 0,6 · 0,5 = 0,27
A, B (C нет)0,9 · 0,6 · 0,5 = 0,27
A, C (B нет)0,9 · 0,4 · 0,5 = 0,18
B, C (A нет)0,1 · 0,6 · 0,5 = 0,03
Итого0,75

Частая ошибка

Забыть множитель «эта компания не пришла» (0,4 или 0,1 в таблице). Если компании нет в варианте, в произведение всё равно входит вероятность того, что она не пришла.

Ещё пример: какова вероятность хотя бы одной шестёрки за 3 броска кубика?

Ни одной шестёрки: (5/6)³ = 125/216. Хотя бы одна: 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 0,42.

Средние расходы (ожидаемое значение)

Если что-то случается с вероятностью p и стоит C, то в среднем на одного человека это стоит p · C. Несколько независимых вещей — складываем.

Пример

Каждому, кто ждал слишком долго, дают купон на кофе (150 ₽) и купон на десерт (200 ₽). Кофе по купону берут 80% людей, десерт — 50%. Во сколько в среднем обходится один такой посетитель?

0,8 · 150 + 0,5 · 200 = 120 + 100 = 220 ₽. Если таких посетителей 750, расходы ≈ 750 · 220 = 165 000 ₽.

6. Нормальное распределение

Как узнать задачу: «распределено нормально», даны среднее и стандартное отклонение, спрашивают долю или вероятность.

Что нужно знать

Нормальное распределение — это «колокол»: большинство значений около среднего, чем дальше от него, тем реже. Стандартное отклонение (σ) — типичное расстояние от среднего. Дальше работает одно правило:

ДиапазонСколько значений внутриСколько выше верхней границы
среднее ± 1σ≈ 68%≈ 16%
среднее ± 2σ≈ 95%≈ 2,5% (точнее 2,3%)
среднее ± 3σ≈ 99,7%≈ 0,15%

Разбор

Рост распределён нормально, среднее 170 см, σ = 10 см. Какая доля людей выше 180 см? Выше 190 см?

  1. 180 = 170 + 1 · 10, то есть на 1σ выше среднего. Выше 1σ лежит ≈ 16%.
  2. 190 = 170 + 2 · 10, на 2σ выше. Выше 2σ лежит ≈ 2,3%.

А если граница не ровно на 1σ или 2σ — например, выше 175 см? Посчитайте, на сколько σ она от среднего: z = (175 − 170) / 10 = 0,5. По таблице ниже доля ниже 0,5σ — 69%, значит выше — 100% − 69% = 31%.

Среднее по выборке. Если взять 25 случайных людей и посчитать их средний рост, это среднее тоже распределено нормально с тем же центром 170, но с разбросом σ / √n = 10 / √25 = 2. Чем больше выборка, тем точнее среднее.

Любая граница: z и таблица

  1. z = (граница − среднее) / σ — на сколько σ граница выше среднего (минус — ниже).
  2. По таблице найдите, какая доля значений ниже z.
  3. Выше границы = 100% − это число. Между двумя границами = (доля ниже верхней) − (доля ниже нижней).
zДоля ниже
050%
0,569,1%
184,1%
1,593,3%
1,64595%
1,9697,5%
297,7%
2,599,4%
399,87%

Для отрицательного z: доля ниже −z = 100% − доля ниже z. Например, ниже −1 лежит 100% − 84,1% = 15,9%.

Пример: какая доля людей ростом от 165 до 185 см? z₁ = (165 − 170)/10 = −0,5 → ниже 30,9%. z₂ = (185 − 170)/10 = 1,5 → ниже 93,3%. Между: 93,3% − 30,9% = 62,4%.

То же в Excel — точно для любых чисел

  • Доля ниже x: =NORM.DIST(x, среднее, σ, TRUE)=НОРМ.РАСП(x; среднее; σ; ИСТИНА). Ниже 175: =NORM.DIST(175, 170, 10, TRUE)=НОРМ.РАСП(175; 170; 10; ИСТИНА) → 0,69.
  • Доля выше x: =1-NORM.DIST(x, среднее, σ, TRUE)=1-НОРМ.РАСП(x; среднее; σ; ИСТИНА).
  • Между a и b: =NORM.DIST(b, среднее, σ, TRUE)-NORM.DIST(a, среднее, σ, TRUE)=НОРМ.РАСП(b; среднее; σ; ИСТИНА)-НОРМ.РАСП(a; среднее; σ; ИСТИНА).
  • Обратный вопрос «какое значение превышают только 10%»: =NORM.INV(0.9, среднее, σ)=НОРМ.ОБР(0,9; среднее; σ). Для роста: =NORM.INV(0.9, 170, 10)=НОРМ.ОБР(0,9; 170; 10) → ≈ 182,8 см.

Равномерное распределение

«Любое значение от a до b равновероятно», «равномерно распределено от a до b». Доля значений больше x (если a ≤ x ≤ b):

доля выше x = (b − x) / (b − a) доля ниже x = (x − a) / (b − a)

Ожидание от 30 до 70 минут, равномерно. Доля ждущих дольше 60 минут = (70 − 60) / (70 − 30) = 10 / 40 = 0,25. Если весь интервал ниже границы (ожидание от 10 до 50, а граница 60) — доля 0; если весь выше — 1. Среднее у равномерного — середина: (a + b) / 2.

Частая ошибка

Делить σ на n, а не на √n. И путать нормальное распределение с равномерным: «любое время от 10 до 20 минут равновероятно» — это равномерное распределение.

Ещё пример: время в очереди к кассе распределено нормально, среднее 40 секунд, σ = 8. Какая доля покупателей ждёт дольше 48 секунд? Каков разброс среднего по 16 покупателям?

48 = 40 + 8, ровно 1σ выше, значит ≈ 16%. Разброс среднего: 8 / √16 = 2 секунды.

7. Среднее, медиана, квартили

Как узнать задачу: посчитать статистику или сказать, как она изменится, если данные поменять.

Что нужно знать

  • Среднее = сумма / количество.
  • Медиана — значение посередине, если всё упорядочить по возрастанию. Если чисел чётное количество, это среднее двух центральных.
  • Квартили. Q1 — медиана нижней половины данных, Q3 — медиана верхней.

Разбор

Данные: 3, 7, 2, 9, 4, 100. Найдите среднее, медиану и квартили. Что изменится, если 100 заменить на 1000?

  1. Упорядочиваем: 2, 3, 4, 7, 9, 100.
  2. Среднее: (2 + 3 + 4 + 7 + 9 + 100) / 6 = 125 / 6 ≈ 20,8.
  3. Медиана: чисел шесть, центральные 4 и 7, (4 + 7) / 2 = 5,5.
  4. Q1 = медиана (2, 3, 4) = 3. Q3 = медиана (7, 9, 100) = 9.
  5. 100 → 1000: среднее становится 1025 / 6 ≈ 170,8, а медиана и квартили не меняются.

Вывод: одно огромное значение сильно меняет среднее и почти не трогает медиану.

Медиана по таблице частот

Иногда данные даны не списком, а таблицей «ответ — сколько человек». Медиана — ответ человека, который стоит посередине, если выстроить всех от худшего ответа к лучшему.

Разбор

Оценки кафе в отзывах: 1★ — 5 человек, 2★ — 3, 3★ — 10, 4★ — 12, 5★ — 15. Найдите медианную оценку. Правда ли, что больше половины поставили 4★ или 5★?

  1. Всего людей: 5 + 3 + 10 + 12 + 15 = 45. Середина — 23-й человек (до него 22, после него 22). При чётном числе N посередине двое: N/2-й и следующий.
  2. Идём по строкам и копим сумму («накопленная частота»): 1★ — люди с 1-го по 5-го; 2★ — по 8-го; 3★ — по 18-го; 4★ — по 30-го. 23-й попал в 4★.
  3. Медиана — 4★.
  4. 4★ или 5★ поставили 12 + 15 = 27 из 45 — это больше половины (22,5). Правда.

Среднее здесь (5·1 + 3·2 + 10·3 + 12·4 + 15·5) / 45 = 164 / 45 ≈ 3,64 — не совпадает с медианой, это нормально.

Частая ошибка

Взять как медиану «среднюю строку таблицы» (здесь 3★) или строку с самым большим числом людей (5★). Медиана ищется по людям, а не по строкам. И сначала проверьте, что строки идут по порядку (от худшего к лучшему); если нет — переставьте.

Как меняются статистики

  • Ко всем значениям прибавили число c: среднее и медиана +c, разброс (σ) не меняется.
  • Все значения умножили на k: среднее, медиана и σ умножаются на k.

Коэффициент вариации

Чтобы сравнить разброс у величин разного масштаба (выручка большого и маленького кафе), делят отклонение на среднее: CV = σ / среднее. Кафе A: дневная выручка в среднем 100 тыс., σ = 5 тыс. → CV = 0,05. Кафе B: в среднем 20 тыс., σ = 2 тыс. → CV = 0,10. У B выручка «скачет» сильнее, хотя её σ меньше. В Excel: =STDEV.S(B2:B30)/AVERAGE(B2:B30)=СТАНДОТКЛОН.В(B2:B30)/СРЗНАЧ(B2:B30).

Ещё пример: ко всем зарплатам прибавили 5000 ₽, а потом увеличили на 10%. Было среднее 50 000 ₽ и σ = 10 000 ₽. Что стало?

Среднее: (50 000 + 5000) · 1,1 = 60 500 ₽. σ: прибавка его не меняет, умножение увеличивает в 1,1 раза, получается 11 000 ₽.

8. «Сопоставьте графики»

Корреляция и диаграмма рассеяния

Коэффициент корреляции r — число от −1 до 1. Он показывает, насколько точки выстраиваются вдоль прямой. Знак говорит, вверх идёт облако или вниз. Чем облако уже, тем ближе |r| к 1.

r ≈ 0,96
узкое облако вверх
r ≈ 0,55
широкое облако вверх
r ≈ −0,05
круглое облако
r ≈ −0,82
узкое облако вниз
  1. Разделите графики на две кучки: облако идёт вверх (r > 0) или вниз (r < 0).
  2. Внутри кучки: самое узкое облако получает самый большой по модулю r.
  3. Круглое облако без наклона — r около 0.

Гистограмма и «ящик с усами»

Гистограмма показывает, сколько значений попало в каждый интервал. Ящик с усами показывает то же самое сжато: ящик от Q1 до Q3, линия внутри — медиана, усы — до крайних обычных значений, точки за ними — выбросы.

020406080100120140Q1медианаQ3выбросыдлинный хвост вправо →
Одни и те же данные двумя способами. Хвост гистограммы справа соответствует длинному правому усу и точкам-выбросам. Медиана (пунктир) сдвинута влево от центра ящика.
  1. Сравните, где начинаются и заканчиваются данные.
  2. Найдите медиану на гистограмме: слева от неё половина столбиков по площади.
  3. Найдите длинный хвост: с той же стороны у ящика будет длинный ус или точки-выбросы.

Облака точек и «ящики» по группам

Иногда даны ящики с усами для нескольких групп (например, цена по типу товара) и облака точек «цена от чего-то» для тех же групп. По вертикали у облака — та же величина, что в ящиках. Сравните: где облако лежит выше всего — у того ящика самая высокая медиана; облако, растянутое по вертикали сильнее всех, — самый длинный ящик с усами; облако с единичными точками далеко сверху — ящик с выбросами. Подсказкой бывает и число точек: в маленькой группе мало точек.

Если нужно сопоставить график и подпись («рост детей», «сумма покупки»), смотрите тип 24.

Частая ошибка

Путать крутизну наклона с силой связи. Крутая, но широкая полоса точек может иметь меньший r, чем пологая и узкая. Важна ширина облака, а не угол.

Ещё пример: три облака — «узкое вверх», «широкое вверх», «узкое вниз». Коэффициенты: 0,4, 0,95, −0,9. Сопоставьте.

Узкое вверх — 0,95. Широкое вверх — 0,4. Узкое вниз — −0,9.

9. Уравнение регрессии

Как узнать задачу: дано уравнение вида y = число + число · x + …, спрашивают смысл коэффициента, прогноз или разницу между группами.

Что нужно знать

Уравнение регрессии — это рецепт прогноза: подставляете характеристики, получаете ожидаемое значение. Число перед признаком показывает, на сколько изменится прогноз, если признак увеличить на 1, а всё остальное оставить как было.

Признаки «да/нет» записывают как 1 и 0. Например, ночь = 1, день = 0.

Разбор 1: прогноз и смысл коэффициента

стоимость_такси (₽) = 90 + 20 · км + 4 · минут + 60 · ночь.

  1. Прогноз для поездки на 5 км и 10 минут днём: 90 + 20 · 5 + 4 · 10 + 60 · 0 = 90 + 100 + 40 + 0 = 230 ₽.
  2. Смысл числа 20: каждый лишний километр в среднем добавляет 20 ₽ при той же длительности поездки и том же времени суток.
  3. Смысл числа 60: ночью поездка в среднем на 60 ₽ дороже, чем днём, при прочих равных.

Разбор 2: разница между группами

цена квартиры (млн ₽) = 2 + 0,15 · площадь + 1,5 · новостройка + 0,02 · новостройка · площадь. Насколько в среднем новостройка дороже вторички при площади 50 м²?

  1. Новостройка (= 1): 2 + 0,15 · 50 + 1,5 · 1 + 0,02 · 1 · 50 = 2 + 7,5 + 1,5 + 1 = 12.
  2. Вторичка (= 0): 2 + 7,5 + 0 + 0 = 9,5.
  3. Разница: 12 − 9,5 = 2,5 млн ₽ = 2 500 000 ₽.

Подставлять обе группы и вычитать — самый надёжный способ: одинаковые слагаемые сократятся сами.

Частая ошибка

Забыть единицы измерения. Если цена в миллионах, ответ «2,5» в рублях — это 2 500 000. И не забывайте слагаемое с произведением (новостройка · площадь): оно тоже меняется вместе с группой.

«На сколько процентов дороже?»

Коэффициент даёт разницу в рублях, а проценты считаются от цены. Поэтому посчитайте обе цены целиком, со всеми слагаемыми, и только потом (B − A) / A. Такси: 5 км и 10 минут днём — 230 ₽; 8 км и 10 минут днём — 290 ₽. Вторая поездка дороже на 60 ₽, то есть на 60 / 230 ≈ 26,09%. «От меньшей цены» — делите на меньшую.

Если в модели есть квадрат (опыт²) или y — это время и «меньше значит лучше», смотрите тип 23.

Ещё пример: y = 10 + 2x + 3d + 0,5 · d · x. Чему равна разница y между d = 1 и d = 0 при x = 4?

d = 1: 10 + 8 + 3 + 2 = 23. d = 0: 10 + 8 = 18. Разница 5.

10. «Оцените эффект нововведения»

Как узнать задачу: две похожие группы (магазины, школы, города). В одной что-то сделали (запустили акцию, открыли рядом метро), в другой нет. Даны значения до и после.

Идея. Контрольная группа показывает, как всё изменилось бы само по себе. Эффект — то, что изменилось сверх этого.

Разбор

Сеть кофеен A запустила программу лояльности, похожая сеть B — нет. Выручка A за месяц: 50 → 65 млн ₽, B: 40 → 48 млн ₽. Каков эффект программы?

  1. Изменение в A (с программой): 65 − 50 = 15.
  2. Изменение в B (без программы): 48 − 40 = 8. Столько A выросла бы и без программы.
  3. Эффект: 15 − 8 = 7.

Почему не 15? Потому что 8 из этих 15 случилось бы и так: в B выручка тоже выросла. Почему не 65 − 48 = 17? Потому что сети отличались ещё до запуска.

По графику

Найдите момент нововведения. Продолжите линию группы с нововведением параллельно линии контрольной группы: это «что было бы без него». Эффект — расстояние между этой воображаемой линией и настоящей.

Разбор: эффект по отрезкам на графике

Регион Восток в 5-м году ввёл льготу, регион Запад — нет. В тот же год на оба региона подействовало общее плохое событие. Пунктиры — «как было бы, если бы в 5-м году ничего не случилось». Восток оказался выше своего пунктира на 4, Запад — ниже своего на 2. Каков эффект льготы?

  1. Отклонение Запада от пунктира — это действие одного общего события: −2.
  2. Восток пережил то же событие, значит, без льготы он тоже был бы на 2 ниже пунктира. А он на 4 выше.
  3. Эффект = (+4) − (−2) = 6.

Правило: эффект = отклонение группы с нововведением от своего пунктира − отклонение контрольной группы от своего пунктира. Ниже пунктира — со знаком минус.

Что подтверждает вывод об эффекте

  • До нововведения группы менялись одинаково (линии шли параллельно).
  • После нововведения группа с ним и контрольная менялись по-разному.
  • Контролем может быть другой город (регион) и/или похожий товар, которого нововведение не коснулось: например, налог ввели на сладкую газировку, а вода не облагается.
Ещё пример: в школе A ввели бесплатные завтраки, посещаемость выросла на 8%. В похожей школе B без завтраков за то же время она выросла на 3%. Каков эффект завтраков?

8% − 3% = 5 процентных пунктов.

11. «Какую модель выбрать?»

Как узнать задачу: есть несколько моделей, которые отвечают «да» или «нет» (пожар / нет пожара, спам / не спам), и таблица их ошибок.

Что нужно знать: четыре исхода

Модель сказала «да»Модель сказала «нет»
На самом деле «да»TP — нашли правильноFN — пропустили
На самом деле «нет»FP — ложная тревогаTN — правильно не тронули
  • Recall (полнота) = TP / (TP + FN) — какую долю настоящих «да» модель нашла. Важна, когда опасно пропустить: пожар, утечку газа, бракованную деталь.
  • Precision (точность) = TP / (TP + FP) — какая доля «да» модели правильная. Важна, когда опасно зря сработать: отправить важное письмо в спам, зря остановить конвейер.
  • Accuracy (доля верных ответов) = (TP + TN) / (TP + TN + FP + FN). Например, TP = 40, TN = 120, FP = 25, FN = 15: (40 + 120) / 200 = 0,80.
  • F1 = 2 · precision · recall / (precision + recall) — когда одинаково важно и не пропустить, и не ошибиться.

Разбор

Модель A: TP = 80, FP = 20, FN = 40. Модель B: TP = 110, FP = 90, FN = 10. Какую выбрать для датчика дыма? А если ложная тревога стоит 1 тыс. ₽ (выезд на проверку), а пропуск — 3 тыс. ₽?

  1. Recall A = 80 / (80 + 40) ≈ 0,67. Recall B = 110 / (110 + 10) ≈ 0,92.
  2. Precision A = 80 / (80 + 20) = 0,80. Precision B = 110 / (110 + 90) = 0,55.
  3. Датчику дыма опасно пропустить пожар, смотрим на recall → B.
  4. Потери: A = 20 · 1 + 40 · 3 = 140 тыс. ₽. B = 90 · 1 + 10 · 3 = 120 тыс. ₽. Дешевле обходится B.

Частая ошибка

Выбирать по доле правильных ответов (accuracy). Если пожар бывает в 1% случаев, датчик, который всегда молчит, прав в 99% случаев, но не находит ни одного пожара.

Ещё пример: камера на конвейере нашла 90 из 100 бракованных деталей, а ещё 900 хороших деталей отбраковала зря. Посчитайте recall и precision.

Recall = 90 / 100 = 0,9. Precision = 90 / (90 + 900) ≈ 0,09: из всех срабатываний правильных меньше 10%.

12. Тренд, сезонность, события на графике

Что нужно знать

  • Тренд — общее направление за долгое время: продажи растут из года в год.
  • Сезонность — повторяется через одинаковые промежутки: каждое лето, каждый понедельник.
  • Аномалия — один резкий всплеск или провал, не похожий на остальное.
  • Шум — мелкие беспорядочные колебания.

Как событие двигает цену

  • Товара стало меньше (неурожай, запрет вывоза, забастовка) → цена растёт.
  • Товара стало больше (богатый урожай) → цена падает.
  • Товар стал нужнее (новое применение, ажиотаж) → цена растёт.
  • Товар стал менее нужен (кризис, замена) → цена падает.

Разбор

На графике цены кофе: точка 1 — резкий рост, точка 2 — плавное падение. События: «заморозки уничтожили часть урожая в Бразилии» и «рекордный урожай во Вьетнаме». Сопоставьте.

  1. Заморозки → кофе стало меньше → цена растёт → точка 1.
  2. Рекордный урожай → кофе стало больше → цена падает → точка 2.
Ещё пример: продажи мороженого каждое лето втрое выше, чем зимой. Это тренд, сезонность, шум или аномалия?

Сезонность: повторяется каждый год в одно и то же время.

13. «Какая скидка выгоднее?»

Что нужно знать

  • Себестоимость — сколько товар стоит магазину.
  • Наценка 100% значит, что цена вдвое больше себестоимости. Наценка 200% — втрое, 300% — вчетверо.
  • Прибыль = (цена − себестоимость) · количество проданного.

Разбор

Кафе продаёт лимонад с наценкой 200%. Если снизить цену на 10%, лимонада купят на 15% больше; если на 20% — на 50% больше. Что выгоднее: без скидки, 10% или 20%?

  1. Пусть себестоимость 1. Наценка 200% → цена 3.
  2. Пусть без скидки продаём 100 штук. Прибыль: (3 − 1) · 100 = 200.
  3. Скидка 10%: цена 2,7, продажи 115. Прибыль (2,7 − 1) · 115 = 1,7 · 115 = 195,5.
  4. Скидка 20%: цена 2,4, продажи 150. Прибыль (2,4 − 1) · 150 = 1,4 · 150 = 210.
  5. Выгоднее всего скидка 20%.

Частая ошибка

Сравнивать выручку или число продаж вместо прибыли. И считать скидку от себестоимости: скидка всегда считается от цены.

Ещё пример: наценка 100%, скидка 20% увеличивает продажи на 40%. Выгодна ли скидка?

Себестоимость 1, цена 2. Без скидки: прибыль 1 · 100 = 100. Со скидкой: цена 1,6, прибыль 0,6 · 140 = 84. Скидка невыгодна.

Разбор 2: цена в часы пик, очередь и купоны

Кинотеатр сравнивает два тарифа. «Ровный»: 400 ₽ всегда, в пик пришли 3000 человек, в обычное время 5000; ожидание в пик равномерно от 30 до 70 минут. «Гибкий»: 500 ₽ в пик и 300 ₽ в обычное время, пришли 2500 и 5500; ожидание в пик равномерно от 10 до 50 минут. Кто ждал больше 60 минут, получает купоны, которые в среднем стоят 220 ₽ на человека. Какой тариф выгоднее?

  1. Выручка по периодам. Ровный: 400 · (3000 + 5000) = 3 200 000. Гибкий: 500 · 2500 + 300 · 5500 = 1 250 000 + 1 650 000 = 2 900 000.
  2. Сколько ждали дольше 60 минут (равномерное). Ровный: (70 − 60) / (70 − 30) = 0,25 → 0,25 · 3000 = 750 человек. Гибкий: весь интервал до 50 минут → 0.
  3. Расходы на купоны (ожидаемое значение): 750 · 220 = 165 000 и 0.
  4. Итог: ровный 3 200 000 − 165 000 = 3 035 000, гибкий 2 900 000. Выгоднее ровный.

«Сколько дополнительно получим по сравнению со старым тарифом на обоих аттракционах (залах)» — посчитайте старый итог так же (выручка − купоны), умножьте новый итог на число объектов и вычтите.

14. Проценты и экономические графики

Что нужно знать

  • Процентный пункт — разница между двумя процентами. Ставка 10% → 15%: рост на 5 процентных пунктов, или на 50 процентов (15 / 10 = 1,5).
  • +20%, а потом −20% — это не ноль: 1,2 · 0,8 = 0,96, то есть −4%.
  • Реальный рост ≈ рост в рублях − инфляция. Зарплата +10% при инфляции 8% — реально примерно +2%.
  • Средний темп роста за месяц при росте за год со 100 до 112 — не 12% / 12 = 1%, а 1,12^(1/12) − 1 ≈ 0,95%: проценты накапливаются. В Excel: =(112/100)^(1/12)-1.
  • Ставка ЦБ выросла → кредиты дороже → их берут меньше (обычно с задержкой в несколько месяцев).
  • Темп роста (прироста) — на сколько процентов величина выросла за период. Если на графике нарисован темп, то сама величина растёт, пока линия выше нуля, даже если линия идёт вниз. Падает величина только там, где темп ниже нуля.
  • Изменение за период в % = (новое − старое) / старое. Было 40 000, стало 40 240: (40 240 − 40 000) / 40 000 = 0,006 = 0,6%.
  • Доля части в целом = часть / всего, считается отдельно на каждую дату. Доля падает, если часть растёт медленнее, чем всё целое, даже когда сама часть растёт.
  • «Стабильнее» — меньше скачет: линия ровнее, колебания вверх-вниз меньше.

Частая ошибка

Видеть на графике темпа роста линию вниз и говорить «объём падал». Темп снизился с 20% до 5% — значит, объём рос медленнее, но всё равно рос. Сначала прочитайте подпись оси: там сама величина (рубли, штуки) или её темп (%, «прирост», «г/г»).

Разбор: как проверять утверждения по графику

  1. Прочитайте подписи: что на оси, в каких единицах (рубли, проценты, тысячи), есть ли вторая ось.
  2. Для каждого утверждения найдите на графике конкретные точки и сравните числа.
  3. Если утверждение говорит о причине («потому что») или о периоде, которого нет на графике, оно обычно не следует.
Ещё пример: ставка выросла с 8% до 12%. На сколько процентных пунктов и на сколько процентов?

На 4 процентных пункта и на 50% (12 / 8 = 1,5).

Ещё пример: в январе продажи выросли на 12%, в феврале на 6%, в марте на 2%. Продажи в марте упали?

Нет. Все три темпа выше нуля, значит, продажи каждый месяц росли, просто всё медленнее. Упали бы они, только если бы темп был отрицательным.

Ещё пример: выручка магазина 200 → 220, из неё онлайн 50 → 52. Доля онлайна выросла?

Нет. Была 50 / 200 = 25%, стала 52 / 220 ≈ 23,6%. Онлайн вырос на 4%, а вся выручка на 10%, поэтому доля онлайна упала.

15. Задача с таблицей данных

Как узнать задачу: дан файл Excel или CSV, нужно посчитать что-то или проверить утверждения.

Разбор

Таблица продаж за месяц (0 значит «был в отпуске»). Сравните средние продажи работавших продавцов в Москве и в Казани.

ПродавецГородПродажи, тыс. ₽
АняМосква80
БоряМосква0
ВикаКазань70
ГошаМосква60
ДашаКазань90
ЕгорКазань0
  1. Прочитали условие: нули — отпускники, их убираем.
  2. Москва: (80 + 60) / 2 = 70. Казань: (70 + 90) / 2 = 80.
  3. Если забыть убрать нули, получится Москва 46,7 и Казань 53,3. Это неправильно.

В Excel: =AVERAGEIFS(C:C, B:B, "Москва", C:C, ">0")=СРЗНАЧЕСЛИМН(C:C; B:B; "Москва"; C:C; ">0").

Порядок работы с любым файлом

  1. Прочитайте описание столбцов: что значит 0, пустая клетка, повторная строка.
  2. Уберите лишнее строго по условию.
  3. На каждое утверждение сделайте один расчёт: среднее, доля или количество по группе.
  4. Доля в столбце из 0 и 1 — это просто его среднее.
  5. Округлите только в самом конце и так, как просят.

Подробно, куда нажимать в Excel, — на странице «Задачи с таблицей в Excel».

Ещё пример: клиенты спортзала — (годовой абонемент: да, ушёл: нет), (да, нет), (нет, да), (да, да), (нет, нет), (нет, да), (да, нет), (нет, нет). Какая доля ушедших среди клиентов с годовым абонементом и среди остальных?

С годовым 4 клиента, ушёл 1: 25%. Без годового 4 клиента, ушли 2: 50%.

16. «Заполните пропуски в рассуждении»

Как узнать задачу: дан текст с пропусками вроде «(положительно / отрицательно / никак не) связан» и «гипотеза (отвергается / не отвергается)».

Разбор

Продолжаем пример со спортзалом. «Гипотеза: годовой абонемент (снижает / повышает / не влияет на) вероятность ухода. Доля ушедших среди клиентов с годовым абонементом (больше / меньше / не отличается от) доли среди остальных, поэтому гипотеза (отвергается / не отвергается)». Различие меньше 1 п. п. считается отсутствием различия.

  1. Гипотеза — разумное ожидание: кто заплатил за год вперёд, реже бросает, абонемент снижает вероятность ухода.
  2. Считали: 25% против 50%. Разница 25 п. п., это больше 1 п. п. → доля меньше.
  3. Данные совпали с гипотезой → гипотеза не отвергается.

Если бы доли были 8,0% и 8,4% (разница меньше 1 п. п.), то «не отличается», и гипотеза «снижает» отвергается.

Частая ошибка

Слова должны быть согласованы с числами. После «не отличается» не может идти «гипотеза о влиянии не отвергается».

17. «Какие показатели подходят для исследования?»

Как узнать задачу: «вы хотите изучить связь X и Y. Какие показатели подойдут?»

Разбор

Изучаем по городам, связано ли число кафе фастфуда с лишним весом у жителей. Какая пара показателей подходит лучше?

  • «Число кафе в городе» и «число людей с лишним весом» — плохо: в больших городах и кафе, и людей больше просто из-за размера.
  • «Кафе на 10 000 жителей» и «доля жителей с лишним весом» — хорошо: оба показателя не зависят от размера города.
  • «Обращения к диетологу» и «выручка фастфуда в лучший месяц» — хуже: обращения зависят ещё и от того, есть ли в городе диетологи, а лучший месяц — это один случайный рекорд.

Правило

Хороший показатель: (1) на душу населения или в долях, а не в штуках; (2) измеряет ровно то, о чём вопрос; (3) типичное значение, а не рекорд одного дня.

18. Общая доля по нескольким группам

Как узнать задачу: даны доли в нескольких группах (брак, возвраты, отличники) и то, во сколько раз одна группа больше другой. Спрашивают общую долю.

Идея. Общую долю нельзя получить, просто усреднив доли групп: у большой группы больший вес. Возьмите конкретное число предметов, посчитайте «плохие» в каждой группе и сложите.

Разбор

На складе телефонов вдвое больше, чем планшетов. Брак — у 5% телефонов и у 20% планшетов. Какая доля всех товаров бракованная?

  1. Возьмём 300 товаров: телефонов 200, планшетов 100 (вдвое меньше).
  2. Брак среди телефонов: 5% от 200 = 10. Среди планшетов: 20% от 100 = 20.
  3. Всего брака 10 + 20 = 30 из 300 = 10%.

Обычное среднее (5% + 20%) / 2 = 12,5% — неправильно: оно не учитывает, что телефонов больше.

Частая ошибка

Перепутать «90% исправны» и «10% с браком». Сначала переведите всё в одну сторону: если вопрос про брак, считайте доли брака.

Ещё пример: в школе 70% учеников — мальчики, 30% — девочки. Шахматным кружком занимаются 10% мальчиков и 40% девочек. Какая доля всех учеников ходит в кружок?

100 учеников: 70 мальчиков → 7 в кружке, 30 девочек → 12 в кружке. Итого 19 из 100 = 19%.

Две пересекающиеся группы

Как узнать: «x% группы A — это B», «y% группы B — это A», «ни A, ни B — z%». Спрашивают долю тех, кто и A, и B.

доля (A или B) = доля A + доля B − доля (A и B) доля (A или B) = 100% − доля «ни A, ни B»

Разбор

В библиотеке 25% детективов — переводные, а среди переводных книг 50% — детективы. Книг, которые ни детективы, ни переводные, — 70%. Какую долю всех книг составляют переводные детективы?

  1. Пусть x — доля переводных детективов (и A, и B).
  2. x — это 25% детективов → всех детективов 4x. x — это 50% переводных → всех переводных 2x.
  3. Детективы или переводные: 4x + 2x − x = 5x. Это 100% − 70% = 30%.
  4. 5x = 0,3 → x = 6%.

Внимательно читайте, от чего процент: «80% млекопитающих не делают X» — значит, делают X 20% млекопитающих.

19. Перебор с условием

Как узнать задачу: «сколько кодов (паролей, комбинаций)», и есть хитрое условие: сумма цифр, разные цифры, только чётные.

Идея. Готовой формулы нет — нужно аккуратно перебрать. Порядок всегда такой:

  1. Выпишите, из каких цифр можно выбирать.
  2. Начните с самого жёсткого условия и выпишите все варианты, которые ему подходят.
  3. Для каждого варианта посчитайте, сколькими способами заполнить остальное, и сложите.

Разбор

Код из трёх разных нечётных цифр. Сумма первой и последней равна 10. Сколько кодов?

  1. Нечётные цифры: 1, 3, 5, 7, 9.
  2. Самое жёсткое условие — сумма первой и последней 10. Выписываем пары разных цифр: 1 и 9, 9 и 1, 3 и 7, 7 и 3. (5 и 5 нельзя: цифры должны быть разными.) Это 4 варианта.
  3. Средняя цифра — любая из оставшихся трёх нечётных.
  4. Ответ: 4 · 3 = 12.

Если условие — про равные суммы пар цифр

  1. Выпишите все пары разных цифр и их суммы.
  2. Найдите две пары без общих цифр с одинаковой суммой.
  3. Каждая такая находка даёт 8 кодов: какая пара идёт первой (2 способа) × порядок цифр в первой паре (2) × порядок во второй (2).
  4. Неважно, какие позиции сравниваются: «первые две = последние две» или «1-я + 3-я = 2-я + 4-я». Пара занимает свои две позиции, и подсчёт тот же — 8 кодов на каждую находку.

Частая ошибка

Забыть про порядок: «1 и 9» и «9 и 1» — это разные коды. И забыть про 0, если он разрешён.

Ещё пример: код из 4 разных цифр от 1 до 6. Первая + вторая = 7 и третья + четвёртая = 7. Сколько кодов?

Пары с суммой 7: {1, 6}, {2, 5}, {3, 4}. Первая пара — любая из трёх, в любом порядке: 3 · 2 = 6. Вторая — одна из двух оставшихся, в любом порядке: 2 · 2 = 4. Итого 6 · 4 = 24.

20. Совместная работа: «сколько часов это займёт»

Как узнать задачу: разные люди делают одну и ту же работу за разное время, работу можно делить, спрашивают, когда всё будет готово.

Что нужно знать

  • Скорость = сколько штук в час. Печёт торт за 2 часа → скорость 0,5 торта в час. За 30 минут → 2 торта в час.
  • Время человека = его штуки × время на одну штуку.
  • Если все работают одновременно, работа кончается, когда закончит самый последний. Считайте время для каждой группы и берите самое большое.
  • Если задачи распределили так, чтобы все закончили одновременно, сложите скорости всех людей и разделите на них весь объём работы.

Разбор

В пекарне 4 ученика (торт за 2 часа) и 6 мастеров (торт за 1 час). Заказано 60 тортов. Сколько часов уйдёт, если: а) всем поровну; б) так, чтобы все закончили одновременно; в) каждый мастер печёт 8 тортов, остальное поровну ученикам?

  1. а) 60 / 10 = 6 тортов каждому. Ученик: 6 · 2 = 12 ч, мастер: 6 · 1 = 6 ч. Всё готово, когда закончат ученики: 12 ч.
  2. б) Скорости: ученик 0,5 торта/ч, мастер 1 торт/ч. Вся пекарня: 4 · 0,5 + 6 · 1 = 8 тортов в час. 60 / 8 = 7,5 ч.
  3. в) Мастера: 6 · 8 = 48 тортов, по 8 ч каждый. Ученикам осталось 60 − 48 = 12, по 3 торта: 3 · 2 = 6 ч. Последними закончат мастера: 8 ч.

Частая ошибка

Брать среднее время по всем. Работа длится столько, сколько трудится самый загруженный, а не средний человек. Минуты переводите в часы: 45 минут = 0,75 ч.

Ещё пример: Аня упаковывает посылку за 20 минут, Боря — за 30. Нужно упаковать 50 посылок. Сколько часов уйдёт, если делить поровну? А если так, чтобы закончили одновременно?

Поровну: по 25 посылок. Аня 25 · 20 = 500 мин, Боря 25 · 30 = 750 мин = 12,5 ч — ответ 12,5 ч. Одновременно: скорости 3 и 2 посылки в час, вместе 5 в час, 50 / 5 = 10 ч.

21. Ошибка прогноза и запас «с вероятностью 95%»

Как узнать задачу: модель даёт прогноз, известна её ошибка (MSE или RMSE). Нужно заказать запас на несколько дней, чтобы хватило с вероятностью 95%.

Что нужно знать

  • MSE — средний квадрат ошибки. RMSE = √MSE — типичная ошибка в тех же единицах, что и прогноз. Её и используем как σ.
  • Ошибки в разные дни независимы → за n дней ошибки частично гасят друг друга. Разброс суммы за n дней: σ · √n, а не σ · n.
  • Нам страшна только нехватка, поэтому запас — с одной стороны: прогноз + 1,645 · σ даёт 95%. (1,96 нужно для двусторонних интервалов «±», здесь не подходит.) Для 99% — 2,326.
  • Если заказывать можно только целые единицы — округляйте вверх.

Разбор

Модель прогнозирует, что кофейня тратит 3 литра молока в день, MSE = 0,36. Сколько молока заказать на 25 дней, чтобы хватило с вероятностью 95%? Заказывать можно только целые литры.

  1. Прогноз на 25 дней: 3 · 25 = 75 л.
  2. Типичная дневная ошибка: √0,36 = 0,6 л.
  3. Разброс за 25 дней: 0,6 · √25 = 0,6 · 5 = 3 л.
  4. Запас на 95%: 75 + 1,645 · 3 = 79,94 л.
  5. Округляем вверх: 80 л.

Частая ошибка

Взять MSE вместо корня из неё, умножить ошибку на n вместо √n или округлить вниз (79 л — значит, с вероятностью больше 5% не хватит).

Ещё пример: пекарня тратит по прогнозу 10 кг муки в день, MSE = 1. Сколько муки заказать на 16 дней с запасом на 95% (целые кг)?

160 + 1,645 · 1 · √16 = 160 + 6,58 = 166,58 → 167 кг.

22. «Различие статистически значимо?»

Как узнать задачу: две группы (два магазина, две версии сайта), сравнивают средние или доли и спрашивают, значима ли разница, или просят z-статистику.

Идея. Разница может появиться просто случайно. Мы делим разницу на её «типичную случайную величину» (стандартную ошибку). Получаем z. Если |z| большое — разница вряд ли случайна.

Уровень значимостиКак ещё говорятРазница значима, если
α = 0,05«на уровне 95%», «на 5% уровне»|z| > 1,96
α = 0,01«на уровне 99%», «на 1% уровне»|z| > 2,576

Разница средних

z = (среднее₁ − среднее₂) / √( s₁²/n₁ + s₂²/n₂ )

Здесь s — стандартное отклонение группы, n — её размер.

Разбор

Район A: 100 заказов, среднее время доставки 72 минуты, стандартное отклонение 10. Район B: 80 заказов, среднее 69 минут, отклонение 12. Различие значимо при α = 0,05?

  1. Разница средних: 72 − 69 = 3.
  2. Стандартная ошибка: √(10²/100 + 12²/80) = √(1 + 1,8) = √2,8 ≈ 1,673.
  3. z = 3 / 1,673 ≈ 1,79.
  4. 1,79 < 1,96 → разница не значима: 3 минуты могли получиться случайно.

Разница долей

p = (успехи₁ + успехи₂) / (n₁ + n₂) — общая доля z = (p₁ − p₂) / √( p · (1 − p) · (1/n₁ + 1/n₂) )

Разбор

Товар вернули 60 из 200 покупателей сайта и 30 из 150 покупателей магазина. Различие значимо при 95%? При 99%?

  1. Доли: 60/200 = 0,30 и 30/150 = 0,20. Разница 0,10.
  2. Общая доля: (60 + 30) / (200 + 150) = 90 / 350 ≈ 0,257.
  3. Стандартная ошибка: √(0,257 · 0,743 · (1/200 + 1/150)) ≈ √(0,191 · 0,01167) ≈ 0,0472.
  4. z = 0,10 / 0,0472 ≈ 2,12.
  5. 2,12 > 1,96 → значимо на уровне 95%. 2,12 < 2,576 → не значимо на уровне 99%.

Как это сделать в Excel

  • Средние и отклонения по группам: =AVERAGEIF(B:B, "A", C:C)=СРЗНАЧЕСЛИ(B:B; "A"; C:C), =STDEV.S(FILTER(C2:C501, B2:B501="A"))=СТАНДОТКЛОН.В(ФИЛЬТР(C2:C501; B2:B501="A")), размер группы — =COUNTIF(B:B, "A")=СЧЁТЕСЛИ(B:B; "A").
  • Дальше z — по формуле выше, в отдельной ячейке.
  • p-value по z: =2*(1-NORM.S.DIST(ABS(z), TRUE))=2*(1-НОРМ.СТ.РАСП(ABS(z); ИСТИНА)). Если p-value < 0,05 — значимо на 5%.
  • Готовый тест для средних: =T.TEST(диапазон1, диапазон2, 2, 3)=СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ(диапазон1; диапазон2; 2; 3) сразу даёт p-value (2 — двусторонний, 3 — группы с разным разбросом).

Доверительный интервал

Иногда вместо z дают 95% доверительный интервал коэффициента или разницы. Правило: если интервал не содержит 0 — значимо на 5%.

  • Коэффициент −12, интервал от −18 до −6: весь интервал меньше нуля → значимо меньше нуля (например, «значимо дешевле»).
  • Интервал от −20 до +35: содержит 0 → различие не значимо.

Значима ли корреляция

t = r · √(n − 2) / √(1 − r²) значима на 5%, если |t| > 1,96 (при n больше ~100)

При огромных выборках даже крошечная корреляция бывает значимой: при n = 5000 корреляция 0,04 даёт t ≈ 2,83 (значима), а 0,02 — t ≈ 1,41 (не значима). Значимая — не значит сильная.

В Excel: =r*SQRT(n-2)/SQRT(1-r^2)=r*КОРЕНЬ(n-2)/КОРЕНЬ(1-r^2) (вместо r и n — клетки с ними). В пропусках «связано положительно / отрицательно / не связано»: значима и r > 0 — положительно; значима и r < 0 — отрицательно; не значима — «не связано».

«Какой вариант выбрать при уровне значимости 95%?»

  1. Найдите в условии, что можно сравнить как две доли (сколько из возможных пришли, купили, вернулись) или два средних.
  2. Посчитайте z для разницы (формулы выше).
  3. |z| больше порога (1,96 для 95%, 2,576 для 99%) — выбирайте вариант с лучшим показателем. Меньше — ответ «разницы нет».

Частая ошибка

«Уровень значимости 95%» в условии означает α = 0,05 — то есть порог 1,96, а не что-то про 95. И сравнивать нужно модуль z: знак говорит только о том, какая группа больше.

Ещё пример: в двух группах по 50 человек средние 30 и 33, стандартное отклонение в обеих 6. Найдите z. Значима ли разница на 5%? На 1%?

Стандартная ошибка √(36/50 + 36/50) = √1,44 = 1,2. z = 3 / 1,2 = 2,5. Больше 1,96 → значимо на 5%. Меньше 2,576 → не значимо на 1%.

23. Регрессия с квадратом и «чем меньше, тем лучше»

Как узнать задачу: в таблице коэффициентов есть квадрат признака (например, «опыт²») или произведение двух признаков, а зависимая переменная — время, затраты, число ошибок.

Три правила

  1. Смотрите, что такое y. Если y — время выполнения, то меньше y — лучше. Положительный коэффициент значит «медленнее, хуже», отрицательный — «быстрее, лучше».
  2. Квадрат даёт «горку» или «ямку». Если в модели b₁ · x + b₂ · x², то крайняя точка в x = −b₁ / (2 · b₂). При b₂ > 0 там минимум y, при b₂ < 0 — максимум.
  3. Переводите единицы. 0,1 часа = 6 минут, 0,25 часа = 15 минут. Если y в рабочих днях по 8 часов: 0,5 дня = 4 часа, 0,25 дня = 2 часа.

Разбор

Время ремонта машины в автосервисе: время (ч) = 6 − 0,3 · опыт + 0,01 · опыт² − 0,05 · рейтинг + 0,25 · выходной + 1,2 · ночь − 0,8 · ночь · вдвоём. Опыт мастера — в годах; ночь = 1 для ночной смены; вдвоём = 1, если мастер работает с напарником.

  1. Самый быстрый опыт. −(−0,3) / (2 · 0,01) = 0,3 / 0,02 = 15 лет. Коэффициент при квадрате положительный → при 15 годах опыта время минимально → мастер самый быстрый.
  2. Рейтинг сервиса. −0,05 ч = −3 минуты: каждый балл рейтинга ускоряет ремонт на 3 минуты.
  3. Выходной. +0,25 ч = +15 минут: в выходной ремонт идёт медленнее.
  4. Ночь у мастера-одиночки (вдвоём = 0): +1,2 ч. С напарником: 1,2 − 0,8 = +0,4 ч. Ночная смена замедляет всех, но на одиночек влияет сильнее.

Частая ошибка

Прочитать «+1,2» как «ночью работают лучше». Здесь y — время, поэтому плюс значит, что работа идёт дольше.

Ещё пример: время сборки шкафа (ч) = 4 + 0,3 · музыка − 0,5 · опытный − 0,2 · опытный · музыка. Кто быстрее — опытные сборщики или новички? Как музыка влияет на тех и других?

У опытных время на 0,5 ч меньше → опытные быстрее. Музыка: у новичков +0,3 ч (18 минут), у опытных 0,3 − 0,2 = +0,1 ч (6 минут). Музыка замедляет всех, новичков сильнее.

24. «Какой график подходит к заголовку?»

Как узнать задачу: несколько графиков и перепутанные подписи к ним.

Идея. По заголовку представьте, какие данные лежат за графиком, и какой формы они должны быть.

Что в заголовкеКак выглядит график
Две-три категории (курит / не курит, да / нет)Столбики или круговая диаграмма с 2–3 частями
Рост, вес, оценки за тестГистограмма-«колокол», симметричная
Деньги: доход, сумма покупки, цена квартирыГистограмма с длинным хвостом вправо: много небольших значений, мало очень больших
«X в зависимости от Y» (расход топлива от массы машины)Диаграмма рассеяния: точки, обычно облако вверх
Что-то по датам, «динамика»Линия по времени, часто с сезонными волнами
Возрастная пирамидаШирокое основание — много детей, высокая рождаемость, молодое население. Узкое основание и «пузо» в середине — мало детей, население стареет. Если полоски самых младших возрастов короче, чем у чуть более старших, — в последние годы детей рождалось меньше: доля детей к взрослым падает, новых школ скоро понадобится не больше, а меньше
Время ожидания, время между событиямиГистограмма, высокая у нуля и плавно спадающая

Разбор

Заголовки: «Рост первоклассников», «Сумма покупки в супермаркете», «Курит / не курит», «Расход топлива в зависимости от массы машины». Графики: колокол, два столбика, облако точек вверх, гистограмма с хвостом вправо.

  1. «Курит / не курит» — две категории → два столбика.
  2. «Расход от массы» — зависимость двух чисел → облако точек.
  3. Рост — симметричный → колокол.
  4. Сумма покупки — деньги, бывают редкие очень большие → хвост вправо.

Линии (столбики) по периодам и круговые диаграммы

Если к графику продаж по кварталам надо подобрать «круговую» с долями кварталов: сложите все показанные величины в каждом квартале, разделите на сумму за год — это размеры секторов. Сопоставляйте по самому большому и самому маленькому сектору: цвета на разных круговых могут означать разные кварталы.

Ещё пример: какой график подойдёт к заголовку «Число посетителей сайта по дням за год»?

Линия по датам, скорее всего с недельными волнами: в выходные посетителей другое число, чем в будни.

25. Стандартизация и «самый похожий объект»

Как узнать задачу: у объектов несколько признаков в разных единицах (площадь в м², цена в миллионах). Их «стандартизируют» и ищут для каждого самого похожего по сумме разностей.

Что нужно знать

  • Стандартизация: z = (значение − среднее) / стандартное отклонение. После неё у признака среднее 0 и разброс 1, и признаки в разных единицах можно сравнивать.
  • z показывает, на сколько отклонений объект выше (плюс) или ниже (минус) среднего. z = 2 — на два отклонения выше.
  • z не обязан лежать в [−1; 1]. Всё, что дальше одного отклонения от среднего, выходит за эти границы.
  • Сумма z одного объекта по разным признакам может быть любой, в том числе 0 (по одному признаку выше среднего, по другому ниже).
  • «Самый похожий» — тот, у кого сумма |разностей z| по всем признакам самая маленькая.

Разбор

Площадь квартир: среднее 60 м², отклонение 10. Цена: среднее 12 млн, отклонение 4. Квартира X: 70 м², 8 млн. Кандидаты: Y₁ — 65 м², 14 млн; Y₂ — 75 м², 6 млн. Какая больше похожа на X?

  1. X: z площади (70 − 60)/10 = 1, z цены (8 − 12)/4 = −1. Сумма z = 0 — так бывает.
  2. Y₁: (65 − 60)/10 = 0,5; (14 − 12)/4 = 0,5. Расстояние: |1 − 0,5| + |−1 − 0,5| = 0,5 + 1,5 = 2,0.
  3. Y₂: (75 − 60)/10 = 1,5; (6 − 12)/4 = −1,5. Расстояние: |1 − 1,5| + |−1 + 1,5| = 0,5 + 0,5 = 1,0.
  4. Ближе Y₂.

Две нормировки: что может получиться

Свойствоmin-max: (x − min) / (max − min)z: (x − среднее) / σ
Меньше нулянет, всё от 0 до 1да, у всех ниже среднего
Больше 1нетда, у всех дальше 1σ выше среднего
Обязательно есть 0да: у минимума ровно 0 (а у максимума ровно 1)нет: 0 будет, только если какое-то значение равно среднему
Новое больше старогоможет (старое −500 → новое 0,25)может (старое −3 → новое −0,5)

Проверяйте утверждения на маленьком примере: числа −2, 0, 4.

Что верно всегда

  • Один и тот же кандидат может оказаться самым похожим сразу для нескольких объектов.
  • Какие-то кандидаты могут не оказаться самыми похожими ни для кого.
Ещё пример: данные 1, 2, 3, 4, 100. Среднее 22, стандартное отклонение ≈ 39. Чему равен z у числа 100? Лежат ли все z в [−1; 1]?

z = (100 − 22) / 39 ≈ 2,0. Нет, не все: у 100 z выходит за 1.

26. «Какая формула подходит к картинке?»

Как узнать задачу: дано облако точек и несколько уравнений (с x, 1/x, x², √x). Нужно выбрать то, что лучше описывает форму.

Формула (b₀, b₁ > 0)Как выглядит
b₀ + b₁ · xпрямая вверх
b₀ − b₁ · xпрямая вниз
b₀ + b₁ / xсначала круто падает, потом почти горизонтальная «полка»
b₀ + b₁ · √x  или  b₀ + b₁ · ln xрастёт, но всё медленнее (насыщение)
b₀ + b₁ · x²растёт всё быстрее
b₀ − b₁ · x²падает всё быстрее

Разбор

Время на сборку детали в зависимости от номера попытки: первые попытки — резкое ускорение, потом время почти не меняется. Какая формула подходит: b₀ − b₁·x, b₀ + b₁/x, b₀ − b₁·x², b₀ + b₁·√x?

  1. Убывает — значит, не b₀ + b₁·√x (она растёт).
  2. Сначала быстро, потом медленно — не прямая (у прямой скорость постоянна) и не b₀ − b₁·x² (у неё падение ускоряется).
  3. Остаётся b₀ + b₁ / x: резкое падение и выход на полку.
Ещё пример: урожай растёт с количеством удобрений, но каждая следующая порция даёт всё меньшую прибавку. Какая формула лучше: прямая, b₀ + b₁·ln x или b₀ + b₁·x²?

b₀ + b₁·ln x: рост с замедлением.

27. «Это уже случилось. Из какой он группы скорее всего?»

Как узнать задачу: даны группы (их доли) и вероятность события в каждой группе. Потом говорят, что событие произошло, и спрашивают, из какой группы объект вероятнее всего, или какова вероятность, что он из группы G. Сюда же: «тест положительный — какова вероятность, что человек болен».

Идея. Важно не только, в какой группе событие случается чаще, но и сколько людей в группе. Для каждой группы перемножьте: доля группы × вероятность события в ней. У кого произведение больше, тот и ответ.

Разбор

Служба доставки получает 60% заказов из приложения, 25% с сайта, 15% по телефону. Опаздывают 15% заказов из приложения, 20% с сайта, 40% телефонных. Заказ опоздал. Откуда он вероятнее всего? С какой вероятностью он из приложения?

  1. Возьмём 1000 заказов: из приложения 600, с сайта 250, по телефону 150.
  2. Опоздавшие: 15% от 600 = 90, 20% от 250 = 50, 40% от 150 = 60. Всего опоздало 200.
  3. Больше всего опоздавших из приложения (90), хотя там опаздывают реже всего. Ответ: из приложения.
  4. Вероятность «из приложения, если опоздал» = 90 / 200 = 0,45.

Быстрый способ: 0,60 · 0,15 = 0,09; 0,25 · 0,20 = 0,05; 0,15 · 0,40 = 0,06. Самое большое — 0,09.

Частая ошибка

Выбрать группу с самой большой вероятностью события (здесь телефон, 40%). Это неправильно: телефонных заказов мало, и даже при частых опозданиях их среди опоздавших меньше. «Невозможно определить» тоже неверно, если даны и доли групп, и вероятности в них.

Ещё пример: аллергия есть у 1% людей. Тест находит её у 90% аллергиков, но у 5% здоровых тоже ошибочно показывает «аллергия». Тест положительный. Какова вероятность, что аллергия действительно есть?

10 000 человек: аллергиков 100, тест положительный у 90. Здоровых 9900, ложный «плюс» у 5% = 495. Всего положительных 90 + 495 = 585. Вероятность 90 / 585 ≈ 0,15 — всего 15%, потому что здоровых намного больше.

28. Экономика с нуля: термины и экономические графики

Как узнать задачу: в условии ВВП, инфляция, ставка, кредиты, вклады, экспорт, «темп прироста», «на душу населения», график из отчёта банка или статистики. Почти всегда экономику знать не нужно: определения даны в условии, а проверяется умение читать график и не делать лишних выводов.

Словарь простыми словами

СловоЧто значит
ВВПСтоимость всего, что страна произвела за год. Бесплатная работа дома в него не входит.
На душу населения / на одного работникаВВП, делённый на число жителей / работников. Так сравнивают страны разного размера.
«По отношению к США», «США = 1»Показатель страны, делённый на показатель США. 0,5 — вдвое ниже, чем в США; 2 — вдвое выше.
Номинальный / реальныйНоминальный — в рублях как есть. Реальный — с поправкой на инфляцию: «сколько на самом деле можно купить».
По паритету покупательной способности (ППС)С поправкой на то, что в разных странах одни и те же вещи стоят по-разному. Нужно, чтобы сравнивать страны честно.
Инфляция, ИПЦНасколько подорожала фиксированная «корзина» товаров. Люди переходят на товары, которые дорожают медленнее, а корзина остаётся старой, поэтому ИПЦ немного завышает рост цен.
Ключевая ставкаСтавка Центробанка. Выше ставка → дороже кредиты, выгоднее вклады → кредитов берут меньше (с задержкой).
Выдачи кредитовСколько новых кредитов дали за месяц (квартал). Это поток.
Портфель (задолженность)Сколько всего люди должны сейчас. Это запас: растёт, если выдают больше, чем гасят.
Темп приростаНа сколько % величина выросла за период. Больше 0 — величина растёт, меньше 0 — падает (см. тип 14).
Долговая нагрузка (ПДН)Какую часть дохода человек отдаёт на платежи по кредитам. Выше — рискованнее. «Риск вырос» = выросла доля кредитов с высокой нагрузкой.
Вклад, депозитДеньги, положенные в банк под процент. Одно и то же.
Экспорт / импорт, доля в ВВППродажи за границу / покупки из-за границы. «Экспорт 30% ВВП» — экспорт равен трети всего произведённого.
Налог / субсидияДеньги, которые забирает государство / которые оно доплачивает.
Спрос и предложениеТовара стало меньше или он стал нужнее → цена растёт; больше или менее нужен → падает (см. тип 12).
КонвергенцияБедные страны растут быстрее богатых и догоняют их.

Как читать экономический график

  1. Подписи осей и единицы. Рубли или проценты, тысячи или миллиарды, год или квартал.
  2. Две оси. Найдите, какая линия относится к левой оси, какая к правой: у них разные единицы.
  3. Уровень или темп. Если на оси «темп прироста, %», то линия вниз ещё не значит «величина падает» — падает она, только когда линия ниже 0.
  4. Логарифмическая шкала (в условии «значения преобразованы», «логарифм»): деления 1 000 → 10 000 → 100 000 стоят на равных расстояниях. Равный шаг по оси — это одинаковое умножение, а не прибавление. Середина между 1 000 и 100 000 — это 10 000.
  5. Смысл шкалы бывает перевёрнут. Прочитайте подпись: «чем больше показатель, тем хуже». Тогда выше на графике — хуже.
  6. График плотности (гладкая «горка» вместо столбиков): доля объектов в интервале = площадь под кривой над этим интервалом. Если почти вся площадь левее 1, то у большинства значение меньше 1. Высота пика сама по себе — не количество.
  7. Пузырьковая диаграмма: положение точки — два показателя, размер круга — третий, цвет — группа. Не смешивайте их.
  8. Причина. «Потому что», «влияет», «привело к» по графику почти никогда не следует (см. тип 2).

Разбор 1: запас и поток

Выдачи кредитов в мае выросли с 60 до 80 млрд. Темп прироста портфеля в мае −2%. Утверждения: а) в мае портфель уменьшился; б) это противоречит росту выдач.

  1. Темп прироста портфеля меньше 0 → портфель уменьшился. а) верно.
  2. Портфель на начало мая 1000, выдали 80, погасили 100: стало 980, это −2%. Выдачи растут, а портфель падает — так бывает, если гасят больше, чем выдают. б) неверно.

Разбор 2: конвергенция по графику

Точки — страны. По горизонтали — доход в начале периода, по вертикали — средний темп роста за период. Есть ли конвергенция?

  • Облако идёт вниз (бедные слева растут быстрее) → конвергенция есть.
  • Облако без наклона или идёт вверх → конвергенции нет.
  • Неправильные доводы: «все страны росли», «много стран близко друг к другу», «богатые богаче» — ни один из них не про то, догоняют ли бедные. Если в вариантах ответа только такие доводы, верный ответ — «нет верных».

Разбор 3: две оценки одного и того же

Бесплатную работу волонтёров оценили двумя способами: А — сколько стоило бы нанять на те же часы уборщика, повара и курьера (по их рыночным ставкам); Б — сколько сами волонтёры заработали бы за эти часы на своей работе. В городе X оценка А больше оценки Б. Что следует?

  1. Часы в обеих оценках одни и те же. Значит, А / Б = (средняя ставка нанятых — уборщика, повара и курьера вместе) / (зарплата волонтёра).
  2. А > Б → нанять этот набор работников в среднем дороже, чем волонтёры зарабатывают в час. Это следует.
  3. Про одну профессию (например, «уборщик получает больше, чем средний волонтёр») — сказать нельзя: в оценке А ставки нескольких профессий смешаны.
  4. «В городе X самые высокие зарплаты», «волонтёры там работают больше часов» — не следует: оценка — это часы × ставка, и по одному числу их не разделить.

Частая ошибка

Отвечать «по жизни» или «по экономике», а не по данным. Даже если утверждение верно в реальности («ставка повысилась — кредиты подорожали»), выбирайте его, только если оно видно на этом графике или следует из условия.

Ещё пример: на оси «ВВП на душу, по отношению к стране Z» у страны значение 0,25. Что это значит? Вдвое ли выше 0,5 у другой страны?

0,25 — ВВП на душу в 4 раза ниже, чем в Z. Значение 0,5 — вдвое ниже, чем в Z, и вдвое выше, чем 0,25.

29. «Придуманный показатель»: своё среднее, свой индекс

Как узнать задачу: в условии описан необычный способ считать: «усредняем первые два, потом результат со следующим…», «новый рейтинг = (старый + новая оценка) / 2». Спрашивают, может ли он оказаться больше или меньше обычного среднего или медианы.

Идея. Распишите показатель для 3–4 чисел и посмотрите, с каким весом входит каждое число. Дальше всё решает, какие числа весят больше.

Разбор

Рейтинг Пети: берёт первые два числа и усредняет, потом усредняет результат со следующим числом, и так до конца. Числа упорядочены по возрастанию: 2, 4, 6, 8. Сравните с обычным средним и медианой. А если по убыванию?

  1. По шагам: (2 + 4)/2 = 3; (3 + 6)/2 = 4,5; (4,5 + 8)/2 = 6,25.
  2. Веса: последнее число ½, предпоследнее ¼, первые два по ⅛. Проверка: 2/8 + 4/8 + 6/4 + 8/2 = 0,25 + 0,5 + 1,5 + 4 = 6,25.
  3. Обычное среднее (и медиана) = 5. При возрастании больше всех весит самое большое число → рейтинг больше среднего и медианы.
  4. По убыванию 8, 6, 4, 2: (8 + 6)/2 = 7; (7 + 4)/2 = 5,5; (5,5 + 2)/2 = 3,75 — меньше.

«Могло ли получиться…?»

Чтобы доказать «могло» — приведите один пример. Чтобы доказать «не могло» — покажите по весам, что всегда наоборот: при возрастании последнее, самое большое число весит половину, и вместе с соседями «перетягивает» результат вверх.

Ещё пример: новый рейтинг = (старый рейтинг + новая оценка) / 2. Какая оценка влияет сильнее: последняя или первая?

Последняя: её вес ½, у предпоследней ¼ и так далее. Первые оценки почти забываются.

30. Переложить так, чтобы среднее стало равно медиане

Как узнать задачу: у людей разные доходы (премии, баллы). Деньги можно забрать у одних и отдать другим (налог и субсидия) так, чтобы среднее стало равно медиане, переложив как можно меньше.

Идея. Перекладывание не меняет сумму, значит, среднее остаётся прежним. Менять надо медиану: поднять её до среднего.

Разбор

Премии семерых: 2, 4, 6, 8, 10, 30, 80. Переложить премии так, чтобы среднее стало равно медиане, забрав как можно меньше.

  1. Сумма 140, среднее 140 / 7 = 20 — оно не изменится. Медиана — 4-е число, сейчас 8.
  2. Чтобы медиана стала 20, нужно, чтобы хотя бы 4 человека из 7 имели не меньше 20. Сейчас таких двое (30 и 80). Не хватает двоих.
  3. Дешевле всего поднять тех, кто ближе всего к 20 снизу: 10 → 20 (+10) и 8 → 20 (+12). Субсидии: 10 и 12, всего 22.
  4. Забираем 22 у тех, кто выше среднего, так, чтобы они не опустились ниже 20: например, 80 → 58. Можно и с двоих: 30 → 20 и 80 → 68.
  5. Проверка: 2, 4, 6, 20, 20, 30, 58 — сумма 140, среднее 20, медиана 20.

Частая ошибка

Пытаться двигать среднее. Перекладыванием его не изменить. И поднимать надо ровно до среднего: больше — лишние деньги.

31. «Какое наибольшее (наименьшее) количество?»

Как узнать задачу: «какое максимальное число…», «не более скольких…» при нескольких условиях.

  1. Обозначьте искомое буквой N и выразите через N все группы из условия.
  2. Найдите, что ограничивает: число разных вариантов (пар, наборов — тип 4), общий запас (штук, денег, часов).
  3. Запишите неравенство «нужно ≤ есть» и решите.
  4. Проверьте, что N — целое и все группы из условия тоже целые (половина, треть). Возьмите наибольшее подходящее.

Разбор

В походе N человек: 2 инструктора, треть всех — опытные туристы, остальные — новички. Каждому новичку дали свою пару лент двух разных цветов из 6 цветов, и ни у каких двух новичков пары не совпадают. Какое наибольшее N?

  1. Новичков: N − 2 − N/3 = 2N/3 − 2.
  2. Ограничение — число разных пар из 6 цветов: C(6, 2) = 6 · 5 / 2 = 15.
  3. 2N/3 − 2 ≤ 15 → 2N/3 ≤ 17 → N ≤ 25,5.
  4. N делится на 3 (треть — целое число) → N ≤ 24. Проверка: 24 − 2 − 8 = 14 новичков ≤ 15. Ответ 24.
Ещё пример: за месяц продано не больше 600 штук. На каждых 3 покупателей, взявших ровно 1 штуку, приходится 1 покупатель, взявший несколько. Сколько максимум было покупателей «нескольких»?

Пусть таких B, тогда «одноштучных» 3B. Каждый «несколько» взял минимум 2 штуки, поэтому штук не меньше 3B + 2B = 5B ≤ 600 → B ≤ 120. Для максимума берём минимум для всех остальных.

32. Неизвестное значение по медиане и среднему

Как узнать задачу: одно значение в наборе неизвестно (столбец на диаграмме «может не отражать реальные данные»), даны медиана и какое-то среднее. Найти неизвестное.

  1. Упорядочьте известные значения.
  2. Переберите, где может стоять неизвестное x: меньше всех, между соседями, больше всех.
  3. В каждом случае проверьте медиану, потом составьте уравнение по среднему и найдите x.
  4. Оставьте решение, которое попадает в свой промежуток.

Разбор

Пять чисел: 4, 12, 20, 25 и неизвестное x. Медиана 12. Среднее трёх наибольших больше среднего трёх наименьших на 10. Найдите x.

  1. Если 12 < x < 20, медиана была бы x, а не 12; если x ≥ 20 — медиана 20. Значит, x ≤ 12.
  2. При x ≤ 12 три наибольших — 12, 20, 25: среднее 19. Три наименьших — 4, x, 12 (в любом порядке): среднее (16 + x)/3.
  3. 19 − (16 + x)/3 = 10 → (16 + x)/3 = 9 → x = 11. 11 ≤ 12 — подходит.

33. «Сколько ещё нужно, чтобы среднее стало…»

Как узнать задачу: средняя оценка (рейтинг) по n отзывам; сколько новых оценок нужно, чтобы среднее выросло до нужного уровня.

Идея. Быстрее всего растёт, если все новые оценки максимальные. Сумма = среднее × количество.

Разбор

У курса средняя оценка 4,2 по 300 отзывам (шкала до 5). Сколько минимум новых оценок нужно, чтобы средняя стала не ниже 4,5?

  1. Сумма сейчас 4,2 · 300 = 1260. Добавим k пятёрок.
  2. (1260 + 5k) / (300 + k) ≥ 4,5 → 1260 + 5k ≥ 1350 + 4,5k → 0,5k ≥ 90 → k ≥ 180.

Короткое правило: каждая пятёрка добавляет (5 − 4,5) = 0,5 «запаса», а не хватает (4,5 − 4,2) · 300 = 90; 90 / 0,5 = 180.

Если задача незнакомая

  1. Перескажите условие своими словами: что дано и что спрашивают.
  2. Подставьте конкретные числа: 100 человек, 1000 велосипедов, себестоимость 1.
  3. Нарисуйте таблицу или схему.
  4. Найдите похожий тип в этом туториале.
  5. В «выберите все верные» проверяйте каждый вариант отдельно и пытайтесь его сломать.

Проверка перед ответом

  • Вероятность от 0 до 1, доля от 0 до 100%.
  • Среднее лежит между минимумом и максимумом.
  • Единицы: тысячи или рубли, проценты или доли, проценты или процентные пункты.
  • Округление — так, как просят, и только в конце.
  • Знак разницы: «первая группа минус вторая», а не наоборот.